8. Identificação de Sistemas Severamente Não Lineares

Até agora, categorizamos os sistemas em duas classes distintas: sistemas lineares e sistemas não lineares. Como mencionado, sistemas lineares foram extensivamente estudados, com diversos métodos bem estabelecidos disponíveis, enquanto sistemas não lineares é uma área muito ativa, com vários problemas ainda em aberto para pesquisa. Além de sistemas lineares e não lineares, existem os chamados Sistemas Severamente Não Lineares (Severely Nonlinear Systems). Sistemas Severamente Não Lineares são aqueles que exibem comportamentos dinâmicos altamente complexos e exóticos, como sub-harmônicos, comportamento caótico e histerese. Por enquanto, focaremos em sistemas com histerese.

Modelagem de Histerese com Modelos Polinomiais NARX¶

A não linearidade de histerese é um comportamento severamente não linear comumente encontrado em dispositivos eletromagnéticos, sensores, semicondutores, materiais inteligentes, entre outros, que possuem efeitos de memória entre entrada e saída quase-estáticas (Visintin, A., "Differential Models of Hysteresis"), (Ahmad, I., "Two Degree-of-Freedom Robust Digital Controller Design With Bouc-Wen Hysteresis Compensator for Piezoelectric Positioning Stage"). Um sistema histerético é aquele que exibe um comportamento dependente do caminho, o que significa que sua resposta depende não apenas de seu estado atual, mas também de seu histórico. Em um sistema histerético, quando você aplica uma entrada, a resposta do sistema (como deslocamento ou tensão) não segue o mesmo caminho de volta ao ponto de partida quando você remove a entrada. Em vez disso, ela forma um padrão em formato de laço chamado hysteresis loop. Isso ocorre porque o sistema possui a capacidade de preservar uma deformação causada por uma entrada, caracterizando um efeito de memória.

A identificação de sistemas histeréticos utilizando modelos polinomiais NARX é tipicamente uma tarefa intrigante, pois os algoritmos tradicionais de Seleção de Estrutura de Modelo (Model Structure Selection) não funcionam adequadamente (Martins, S. A. M. and Aguirre, L. A., "Sufficient conditions for rate-independent hysteresis in autoregressive identified models", Leva, A. and Piroddi, L., "NARX-based technique for the modelling of magneto-rheological damping devices"). Martins, S. A. M. and Aguirre, L. A. apresentaram as condições suficientes para descrever histerese usando modelos polinomiais, fornecendo o conceito de estrutura limitante (bounding structure) \(\mathcal{H}\). Modelos polinomiais NARX com um único equilíbrio podem ser usados para uma caracterização completa do comportamento de histerese adotando o conceito de estrutura limitante.

A seguir, são apresentados alguns dos conceitos essenciais e definições formais para entender como modelos NARX podem ser usados para descrever sistemas com histerese.

Sinal quase-estático de carregamento-descarregamento em tempo contínuo¶

Uma característica importante para modelar sistemas histeréticos é o sinal de entrada. Um sinal quase-estático de carregamento-descarregamento (loading-unloading quasi-static signal) é um sinal periódico em tempo contínuo \(x_t\) com período \(T = (t_f - t_i)\) e frequência \(\omega = 2\pi f\), onde \(x_t\) aumenta monotonicamente de \(x_{min}\) para \(x_{max}\), considerando \(t_i \leq t \leq t_m\) (carregamento) e diminui monotonicamente de \(x_{max}\) para \(x_{min}\), considerando \(t_m \leq t \leq t_f\) (descarregamento). Se o sinal de carregamento-descarregamento varia com \(\omega \rightarrow 0\), o sinal também é chamado de sinal quase-estático. Visualmente, isso é muito mais simples de entender. A imagem a seguir mostra um sinal quase-estático de carregamento-descarregamento em tempo contínuo.

Figura 1. Sinal quase-estático de carregamento-descarregamento em tempo contínuo, demonstrando o aumento e diminuição periódicos do sinal de entrada.

Nesse sentido, Martins, S. A. M. and Aguirre, L. A. também apresentaram a ideia de transformar as entradas do sistema usando funções multivaloradas.

Funções multivaloradas - Seja \(\phi (\Delta x_{k}): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). Se \(\Delta x_{k}=x_k-x_{k-1}\), \(\phi (\Delta x_{k})\) é uma função multivalorada se:

\[ \begin{equation} \phi (\Delta x_{k})= \begin{cases} \phi_1, & se \ \Delta x_{k} > \epsilon; \\ \phi_2, & se \ \Delta x_{k} < \epsilon; \\ \phi_3, & se \ \Delta x_{k} = \epsilon; \\ \end{cases} \end{equation} \tag{1} \]

onde \(\epsilon \in \mathbb{R}\), \(\phi_1 \neq \phi_2 \neq \phi_3\). Para algumas entradas \(\Delta x_{k}\neq \epsilon, \ \forall{k} \in \mathbb{N}\), e o último valor na equação acima não é utilizado.

Uma função multivalorada frequentemente usada é a sign\((\cdot): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\):

\[ \begin{equation} sign(x)= \begin{cases} 1, & se \ x > 0; \\ -1, & se \ x < 0; \\ 0, & se \ x = 0. \\ \end{cases} \end{equation} \tag{2} \]

Hysteresis loops em tempo contínuo \(\mathcal{H}_t(\omega)\)¶

Seja \(x_t\) um sinal quase-estático de carregamento-descarregamento em tempo contínuo aplicado a um sistema em tempo contínuo e \(y_t\) a saída do sistema. \(\mathcal{H}_t(\omega)\) denota um laço fechado no plano \(x_t - y_t\), cuja forma depende de \(\omega\). Se o sistema apresenta não linearidade histerética, \(\mathcal{H}_t(\omega)\) é denotado como:

\[ \begin{equation} \mathcal{H}_t(\omega) = \begin{cases} \mathcal{H}_t(\omega)^{+}, \ para \ t_i \ \leq \ t \ \leq \ t_m, \\ \mathcal{H}_t(\omega)^{-}; \ para \ t_m \ \leq \ t \ \leq \ t_f, \\ \end{cases} \end{equation} \tag{3} \]

onde \(\mathcal{H}_t(\omega)^{+} \neq \mathcal{H}_t(\omega)^{-}\), \(\forall t \neq t_m\). \(t_i \leq t \leq t_m\) e \(t_m \leq t \leq t_f\) correspondem ao regime quando \(x_t\) está em carregamento e descarregamento, respectivamente. \(\mathcal{H}_t(\omega)^{+}\) corresponde à parte do laço formada no plano \(x_t - y_t\), enquanto \(t_i \leq t \leq t_m\) (quando \(x_t\) está em carregamento), enquanto \(\mathcal{H}_t(\omega)^{-}\) é a parte do laço formada no plano \(x_t - y_t\) para \(t_m \leq t \leq t_f\) (quando \(x_t\) está em descarregamento), como mostrado na Figura 2:

Figura 2. Exemplo de uma curva de histerese.

Rate Independent Hysteresis (RIH) (Visintin, A., "Differential Models of Hysteresis") - O comportamento de histerese é chamado de rate independent se o caminho \(ABCD\), que depende do par \(x(t), y(t)\), é invariante em relação a qualquer difeomorfismo crescente \(\varphi : [0,T] \rightarrow [0,T]\), ou seja:

\[ \begin{align} F(u \ o \ \varphi, y^{0}) = F(u,y^0)\ o \ \varphi & \ em \ [0,T]. \end{align} \tag{4} \]

Isso significa que, em qualquer instante \(t\), \(y(t)\) depende apenas de \(u:[0,T] \rightarrow \mathbb{R}\) e da ordem em que os valores foram atingidos antes de \(t\). Em outras palavras, o efeito de memória não é afetado pela frequência da entrada.

Rate Independent Hysteresis em modelos polinomiais NARX¶

Martins, S. A. M. and Aguirre, L. A. apresentaram as condições suficientes para que modelos NARX representem histerese. Um dos conceitos desenvolvidos é a Estrutura Limitante (Bounding Structure) \(\mathcal{H}\).

Estrutura Limitante \(\mathcal{H}\) (Martins, S. A. M. and Aguirre, L. A.) - Seja \(\mathcal{H}_t(\omega)\) a histerese do sistema. \(\mathcal{H}= \lim_{\omega \to 0} \mathcal{H}_t(\omega)\) é definida como a estrutura limitante que delimita \(\mathcal{H}_t(\omega)\).

Agora, considere um modelo polinomial NARX excitado por um sinal quase-estático de carregamento-descarregamento. Se o modelo possui um ponto de equilíbrio real e estável, cuja localização depende da entrada e do regime de carregamento/descarregamento, o polinômio exibirá um hysteresis loop Rate Independent \(\mathcal{H}_t(\omega)\) no plano \(x-y\).

Aqui está um exemplo. Seja \(y_k = 0.8y_{k-1} + 0.4\phi_{k-1} + 0.2x_{k-1}\), onde \(\phi_{k} = \rm{sign}(\Delta(x_{k}))\) e \(x_{k} = sin(\omega k)\) e \(\omega\) é a frequência do sinal de entrada \(x\). Os equilíbrios deste modelo são dados por:

\[ \begin{equation} \overline{y}(\overline{\phi},\overline{x})= \begin{cases} \frac{0.6+0.2\overline{x}}{1-0.8} \ = 3 \ + \ \overline{x} \ , & para \ carregamento; \\ \frac{-0.6+0.2\overline{x}}{1-0.8} \ = -3 \ + \ \overline{x} \ , & para \ descarregamento; \\ \end{cases} \end{equation} \tag{5} \]

onde \(\overline {x}\) é um sinal de entrada quase-estático de carregamento-descarregamento. Como os pontos de equilíbrio são assintoticamente estáveis, a saída converge para \(\mathcal{H}_k (w)\) no plano \(x-y\). Note que, para um valor de entrada constante \(x ~ = ~ 1 ~ = ~ \overline{x}\), o equilíbrio está em \(\overline{y} ~ = ~ 3\) para o regime de carregamento e \(\overline {y} ~ = ~ -1\) para o regime de descarregamento. Analogamente, para \(\overline {x} ~ = ~ -1\), o equilíbrio está em \(\overline {y} ~ = ~ 1\) para o regime de carregamento e \(\overline {y} ~ = ~ -3\) para o regime de descarregamento, como mostrado na figura abaixo:

Figura 3. Exemplo de uma estrutura limitante \(\mathcal{H}\). Os pontos pretos estão em \(\mathcal{H}_{k}(\omega)\) para o modelo \(y_k = 0.8y_{k-1} + 0.4\phi_{k-1} + 0.2x_{k-1}\). A estrutura limitante \(\mathcal{H}\), em vermelho, confina \(\mathcal{H}_{k}(\omega)\).

Como pode ser observado na Figura 3, se garantirmos as condições suficientes propostas por Martins, S. A. M. and Aguirre, L. A., um modelo NARX pode reproduzir um comportamento histerético. O Capítulo 10 apresenta um estudo de caso de um sistema com histerese.

O código a seguir pode ser usado para reproduzir o comportamento mostrado na Figura 3. Altere w de \(1\) para \(0.1\) para ver como a estrutura limitante \(\mathcal{H}\) converge para os equilíbrios do sistema.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters
w = 1
t = np.arange(0, 60.1, 0.1)
y = np.zeros(len(t))
x = np.sin(w * t)

# Initialize y and fi
fi = np.zeros(len(t))
# Iterate over the time array to calculate y
for k in range(1, len(t)):
    fi[k] = np.sign(x[k] - x[k-1])
    y[k] = 0.8 * y[k-1] + 0.2 * x[k-1] + 0.4 * fi[k-1]

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Example')
plt.show()

Figura 4. Reprodução de uma estrutura limitante \(\mathcal{H}\) usando Python.